Question

5．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥0}\\{x-y≤0}\\{x+3y≤3}\end{array}\right.$，则$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范围是[0，2]．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，化简目标函数，转化为直线的斜率问题，通过函数的值域求解目标函数的范围即可．

解答 解：约束条件的可行域如图：由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x+3y=3}\end{array}\right.$可得A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+3y=3}\end{array}\right.$可得B（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），
则$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}}}$，由题意可得$\frac{y}{x}$∈[-1，1]，令t=$\frac{y}{x}$∈[-1，1]，则$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$=t+$\frac{1}{t}$∈[2，+∞）∪（-∞，-2]，
∴$\sqrt{1+\frac{2}{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}}}$∈[0，2]．
故答案为：[0，2]．

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．