Question

20．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点P（0，1），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，动点M（2，m）（m＞0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率公式及b=1，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设圆的方程，利用点到直线的距离公式，即可求得m的值，求得圆的方程；
（Ⅲ）过点F作OM的垂线，|ON|²=|OK||OM|，联立直线OM与FN直线方程，求得K点坐标，求得丨OK丨，|OM|，即可求得丨ON丨；则由向量$\overrightarrow{FN}$•$\overrightarrow{OM}$=0，则2x₀+y₀t=2，根据$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{ON}$=0，利用向量数量积的坐标运算，即可求得x₀²+y₀²=2，则$\overrightarrow{ON}$=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$．

解答 解：（Ⅰ）由题意得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，则a²=2b²，①
椭圆的焦点在x轴上，且经过点P（0，1），则b=1，②
∴a²=2，c²=a²-b²=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）以OM为直径的圆的圆心为$（1，\frac{m}{2}）$，半径$r=\sqrt{\frac{m^2}{4}+1}$，
方程为${（x-1）^2}+{（y-\frac{m}{2}）^2}=\frac{m^2}{4}+1$，
因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，
∴圆心到直线3x-4y-5=0的距离$d=\sqrt{{r^2}-1}=\frac{m}{2}$．
所以$\frac{|3-2m-5|}{5}=m$，解得m=4，
所求圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5．
（Ⅲ）证明：过点F作OM的垂线，垂足设为K，由平面几何知：|ON|²=|OK||OM|．
则直线OM：$y=\frac{m}{2}x$，直线FN：$y=-\frac{2}{m}（x-1）$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{m}{2}x\\ y=-\frac{2}{m}（x-1）\end{array}\right.$得${x_K}=\frac{4}{{{m^2}+4}}$，（$\frac{4}{{t}^{2}+4}$，$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$）
∴$|ON{|^2}={x_K}\sqrt{（1+\frac{m^2}{4}）}•{x_M}\sqrt{（1+\frac{m^2}{4}）}=\frac{{4+{m^2}}}{4}•\frac{4}{{{m^2}+4}}•2=2$，
所以线段ON的长为定值$\sqrt{2}$；
方法二：设N（x₀，y₀），则$\overrightarrow{FN}$=（x₀-1，y₀），$\overrightarrow{OM}$=（2，t），
则$\overrightarrow{MN}$=（x₀-2，y₀-m），$\overrightarrow{ON}$=（x₀，y₀），
则$\overrightarrow{FN}$•$\overrightarrow{OM}$=0，2（x₀-1）+my₀=0，
整理得：2x₀+y₀m=2，
由$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{ON}$=0，x₀（x₀-1）+y₀（y₀-m）=0，
∴x₀²+y₀²=2x₀+y₀m=2，
则|$\overrightarrow{ON}$|=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴线段ON的长为定值$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．