Question

10．已知f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcos-cos（π+2x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（C）=1，c=$\sqrt{3}$，a+b=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和诱导公式以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据f（C）=1，求出角C的大小，c=$\sqrt{3}$，a+b=2$\sqrt{3}$，利用余弦定理建立关系，可求△ABC的面积．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcos-cos（π+2x）．
化简可得：f（x）$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的单调增区间为[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∵f（C）=1，即2sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π
可得：2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$
∴C=$\frac{π}{3}$．
由a+b=2$\sqrt{3}$，可得a²+b²=12-2ab．
∵c=$\sqrt{3}$，
根据余弦定理：cosC=$\frac{a^2+b^2-{c}^{2}}{2ab}$可得：$\frac{12-2ab-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
解得：ab=3．
故得△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理的运用和△ABC的面积的公式．属于中档题．