Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2$\sqrt{2}$，BC=4$\sqrt{2}$，PA=2，点M在PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）若BM与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{26}}}{26}$，求四棱锥M-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设E为BC的中点，连结AE，求解三角形可得AB⊥AC，又PA⊥平面ABCD，得AB⊥PA，再由线面垂直的判定可得AB⊥面PAC，故有AB⊥PC；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得∠BAD=135°，过M作MG⊥AD于G，设AG=x，则GD=$2\sqrt{2}-x$，有MG=$\frac{4-\sqrt{2}x}{2}$．在△ABG中，由余弦定理可得BG，由BM与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{26}}{26}$，得M为PD的中点，再由棱锥体积公式求得四棱锥M-ABCD的体积．

解答 解：（Ⅰ）证明：如图，设E为BC的中点，连结AE，
则AD=EC，又AD∥EC，∴四边形AECD为平行四边形，
故AE⊥BC，又AE=BE=EC=$2\sqrt{2}$，
∴∠ABC=∠ACB=45°，故AB⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，故有AB⊥PC；
（Ⅱ）由（1）知AB⊥AC，可得∠BAD=135°，
过M作MG⊥AD于G，设AG=x，则GD=$2\sqrt{2}-x$，∴MG=$\frac{4-\sqrt{2}x}{2}$．
在△ABG中，由余弦定理可得：BG=$\sqrt{{4}^{2}+{x}^{2}+4\sqrt{2}x}$，
由BM与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{26}}{26}$，得$\frac{\frac{4-\sqrt{2}x}{2}}{\sqrt{16+{x}^{2}+4\sqrt{2}x}}=\frac{\sqrt{26}}{26}$，解得x=$\sqrt{2}$，
∴MG=1，即M为PD的中点．
此时四棱锥M-ABCD的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（2\sqrt{2}+4\sqrt{2}）×2\sqrt{2}×1$=4．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，考查多面体体积的求法，是中档题．