Question

10．已知数列{x_n}满足$lg{x_{n+1}}=1+lg{x_n}（{n∈{N^*}}）$，且x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀=1，则lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）=100．

Answer 1

分析 法一：由已知得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=10$，${x}_{1}=\frac{9}{1{0}^{100}-1}$，从而得到x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=10¹⁰⁰，由此能求出lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）．
法二：由已知得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=10$，从而利用等比数列的性质，可知，x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=10¹⁰⁰（x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀）=10¹⁰⁰，由此能求出lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）．

解答 解法一：∵数列{x_n}满足$lg{x_{n+1}}=1+lg{x_n}（{n∈{N^*}}）$=lg（10x_n），
∴$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=10$，
∵x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀=1，
∴$\frac{{x}_{1}（1-1{0}^{100}）}{1-10}$=1，∴${x}_{1}=\frac{9}{1{0}^{100}-1}$，
${x}_{101}=\frac{9}{1{0}^{100}-1}×1{0}^{100}$，
∴x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=$\frac{\frac{9}{1{0}^{100}-1}×1{0}^{100}（1-1{0}^{100}）}{1-10}$=10¹⁰⁰，
则lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）=lg10¹⁰⁰=100．
故答案为：100．
解法二：∵数列{x_n}满足$lg{x_{n+1}}=1+lg{x_n}（{n∈{N^*}}）$=lg（10x_n），
∴$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=10$，
∵x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀=1，
∴等比数列的性质，可知，x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=10¹⁰⁰（x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀）=10¹⁰⁰，
∴lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）=lg10¹⁰⁰=100．
故答案为：100．

点评 本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．