Question

16．已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin²A=$\sqrt{3}$acosAsinB，函数f（x）=sinAcos²x-sin²$\frac{A}{2}$sin 2x，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合正弦定理，求出tanA的值，从而求出A的值；
（II）由A化简函数f（x）为正弦型函数，求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]时f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，bsin²A=$\sqrt{3}$acosAsinB，
由正弦定理得，sinBsin²A=$\sqrt{3}$sinAcosAsinB，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{3}$，…（2分）
又A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$；…（4分）
（II）由A=$\frac{π}{3}$，
∴函数f（x）=sinAcos²x-sin²$\frac{A}{2}$sin 2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x-$\frac{1}{2}$sinxcosx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$sin2x
=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
=-$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，…（10分）
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$≤-$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以f（x）的值域为$[{\frac{{\sqrt{3}-2}}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．…（12分）

点评 本题考查了正弦定理以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．