Question

（本小题满分12分）如图，已知PA?⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC=PA，E是PC的中点，F是PB的中点.

（1）求证：EF//平面ABC；

（2）求证：EF?平面PAC；

（3）求三棱锥B—PAC的体积.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全，利用棱锥的体积公式求体积；（2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.

试题解析：证明：（1）在?PBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EF//BC. （2分）

又BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF//平面ABC. （4分）

（2）因为PA?平面ABC，BC?平面ABC，所以PA?BC. （5分）

因为AB是⊙O的直径，所以BC?AC. （6分）

又PA∩AC=A，所以BC?平面PAC. （7分）

由（1）知EF//BC，所以EF?平面PAC. （8分）

（3）【解析】
在中，AB=2，AC=BC，所以. （9分）

所以.

因为PA?平面ABC，AC?平面ABC，所以PA?AC.

所以. （10分）

由（2）知BC?平面PAC，所以. （12分）

考点：1、直线与平面平行的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、三棱柱的体积.