Question

已知函数

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；

（2）用定义证明在上是减函数；

（3）函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2） 详见解析；（3） 函数 在上是单调减函数.

【解析】

试题分析：（1）首先看函数的定义域是否关于原点对称，再根据奇、偶函数的定义进行证明；（2）直接根据单调性的定义（取值—作差—变形—定号—判奇偶）进行证明即可；（3）由（2）的证明结果可知在上的单调性，而是关于原点的对称区间，根据“奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反”直接做出判断.

试题解析：（1）根据题意函数的定义域为：，关于坐标原点对称.

，在定义域上是奇函数.

（2） 设且，则

，，即且；又，.

∴，即

函数在上是减函数.

（3）是奇函数且在上是减函数；又是关于原点的对称区间.

在上是单调减函数.

考点：1、函数奇偶性的证明；2、函数单调性的证明；3、奇、偶函数在对称区间上的单调性.