Question

已知函数f（x）=3ax²+6x-1，（a∈R），若?x∈R，不等式f（x）≤4x恒成立，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先对a进行讨论，当a=0时，不等式为不恒成立．当a≠0时，利用不等式恒成立的条件进行转化，然后求解．

解答： 解：∵f（x）=3ax²+6x-1，（a∈R），若?x∈R，不等式f（x）≤4x恒成立，
∴3ax²+6x-1≤4x，?x∈R，不等式恒成立，
∴3ax²+2x-1≤0，?x∈R，不等式恒成立，
①若a=0，则原不等式等价为2x-1≤0，此时不等式不恒成立，所以a≠0．
②若a≠0，则要使不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
则有

a＜0 △≤0

，即

a＜0 4+12a≤0

，解得 a≤-

1

3

．
综上满足不等式ax²-ax+2＞0在R上恒成立的实数a的取值范围a≤-

1

3

．
故答案为：a≤-

1

3

．

点评：本题主要考查了不等式恒成立问题．对于在R上一元二次不等式恒成立的问题，要转化为抛物线开口方向和判别式来判断．