Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，AD=2，PD=2

2

，AC与BD相交于O，求PA与平面PBD所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得PD⊥AC，BD⊥AC，由此能证明AC⊥平面PBD．
（Ⅱ）连接PO，∠APO是PA与平面PBD所成的角，由此能求出PA与平面PBD所成角的大小．

解答： （本小题10分）
（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD．…（5分）
（Ⅱ）解：连接PO．∵AC⊥平面PBD，
∴∠APO是PA与平面PBD所成的角．
又AD=2，AO=

3

，
PD=2

2

，PA=

PD2+DA2

=2

3

∴∠APO=30°．
∴PA与平面PBD所成角的大小为30°．…（10分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查线面角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．