Question

已知函数f（x）=x²-2ax-a+2．
（Ⅰ）若f（x）是R上偶函数，求函数f（x）在[-1，2]上的值域；
（Ⅱ）若f（x）＜0对任意x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[0，2]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）若f（x）是R上偶函数，则图象对称轴为y轴，可得a=0，代入求解析式，利用二次函数的性质求在[-1，2]上的值域；（Ⅱ）f（x）=x²-2ax-a+2为开口向上的二次函数，由f（x）＜0对任意x∈[0，2]恒成立可得

f(0)＜0 f(2)＜0

，（Ⅲ）函数y=f（x）在区间[0，2]上有零点则f（0）f（2）=（2-a）（6-5a）≤0，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）依题意f（x）是R上偶函数则图象对称轴为y轴，∴x=a=0，∴a=0，∴f（x）=x²+2，
当x∈[-1，2]时，函数f（x）=x²+2在[-1，0]上递减，在[0，2]上递增，
∴f（x）∈[2，6]即函数y=f（x）的值域为[2，6]，
（Ⅱ）f（x）=x²-2ax-a+2为开口向上的二次函数，
由f（x）＜0对任意x∈[0，2]恒成立
则

f(0)=2-a＜0 f(2)=6-5a＜0

，
解得a＞

6

5

，
（Ⅲ）函数y=f（x）在区间[0，2]上有零点
则f（0）f（2）=（2-a）（6-5a）≤0，或

△=4(a2+a-2)≥0 0＜a＜2 f(0)=2-a＞0 f(2)=6-5a＞0

，
解得

6

5

≤a≤2，或1≤a＜

6

5

∴1≤a≤2，
故实数a的取值范围是1≤a≤2，

点评：本题考查函数的性质，主要是奇偶性，函数值以及零点的存在性问题，属于对函数性质的综合应用．