Question

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0，且f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值；
（3）解关于x的不等式f（ax²）-2f（x）＜f（ax）+4．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）取x=y=0可得f（0）=0；再取y=-x代入即可；
（2）先判断函数的单调性，再求函数的最值；
（3）由于f（x）为奇函数，整理原式得 f（ax²）+f（-2x）＜f（ax）+f（-2）；即f（ax²-2x）＜f（ax-2）；再由函数的单调性可得ax²-2x＞ax-2，从而求解．

解答： 解：（1）取x=y=0，
则f（0+0）=f（0）+f（0）；
则f（0）=0；
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立
∴f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0；
∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0；
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
 又∵f（x）为奇函数
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（x）≤f（-3）
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-2×3=-6；
∴f（-3）=-f（3）=6；
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为6；
（3）∵f（x）为奇函数，
∴整理原式得 f（ax²）+f（-2x）＜f（ax）+f（-2）；
即f（ax²-2x）＜f（ax-2）；
而f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∴ax²-2x＞ax-2； 
∴（ax-2）（x-1）＞0．
∴当a=0时，x∈（-∞，1）；
当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}；
当a＜0时，x∈{x|

2

a

＜x＜1}；
当0＜a＜2时，x∈{x|x＞

2

a

或x＜1}
当a＞2时，x∈{x|x＜

2

a

或x＞1}．

点评：本题考查了抽象函数的应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．