Question

5．已知函数f（x）=|x+1|+|2x-1|，若关于x不等式f（x）≥|m-1|+|m-2|的解集是R，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：化为分段函数易得f（x）的最小值为

3

2

，进而可得

3

2

≥|m-1|+|m-2|等价于

m≥2 3 2 ≥2m-3

或

m≤1 3 2 ≥-2m+3

或

1＜m＜2 3 2 ≥1

，解不等式组可得答案．

解答： 解：当x≤-1时，f（x）=|x+1|+|2x-1|=-（x+1）-（2x-1）=-3x≥3，
当x≥

1

2

时，f（x）=|x+1|+|2x-1|=（x+1）+（2x-1）=3x≥

3

2

当-1＜x＜

1

2

时，f（x）=|x+1|+|2x-1|=（x+1）-（2x-1）=-x+2∈（

3

2

，3），
综上可得f（x）=|x+1|+|2x-1|≥

3

2

，即f（x）的最小值为

3

2

，
∵关于x不等式f（x）≥|m-1|+|m-2|的解集是R，
∴

3

2

≥|m-1|+|m-2|等价于

m≥2 3 2 ≥2m-3

或

m≤1 3 2 ≥-2m+3

或

1＜m＜2 3 2 ≥1

，
解不等式组可得

3

4

≤m≤1或1＜m＜2或2≤m≤

9

4

，即m≥

3

4

故答案为：m≥

3

4

点评：本题考查绝对值不等式的解法，化为分段函数是解决问题的关键，属中档题．