Question

{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），求和T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n=a_n-1+2（n≥2，n∈N^*）得a_n-a_n-1=2，根据等差数列的定义得：数列{a_n}是以2为首项、公差的等差数列，求出a_n、

1

anan+1

，利用裂项相消法求出T_n．

解答： 解：由题意得，a_n=a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），则a_n-a_n-1=2，
又a₁=2，所以数列{a_n}是以2为首项、公差的等差数列，
则a_n=2+（n-1）×2=2n，
所以

1

anan+1

=

1

2n(2n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
则T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查了递推公式的灵活应用，等差数列的证明方法，以及裂项相消法求数列的和，