Question

6．（1）a＞0，b＞0，若$\sqrt{3}$为3^a与3^b的等比中项，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值；
（2）已知x＞2，求f（x）=$\frac{1}{x-2}$+x的值域．

Answer 1

分析 （1）根据$\sqrt{3}$为3^a与3^b的等比中项得出a+b=1，再利用基本不等式求出$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值即可．
（2）由x＞2时，x-2＞0，利用基本不等式求出f（x）=$\frac{1}{x-2}+x$的最小值即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$为3^a与3^b的等比中项，
∴3^a•3^b=3，
∴a+b=1，
又a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}{b}$=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$≥4，
当且仅当a=b时取“=”；
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为4．
（2）∵x＞2，
∴x-2＞0，
∴f（x）=$\frac{1}{x-2}+x$=$\frac{1}{x-2}+x$-2+2≥2$\sqrt{\frac{1}{x-2}•（x-2）}$+2=4，
当且仅当x-2=1，即x=3时，取“=”；
∴f（x）的值域是{f（x）|f（x）≥4}．

点评 本题考查了基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$的应用问题，是基础题目．