Question

设函数f(x)=

3

sinxcosx-cosxsin(

π

2

+x)-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用诱导公式化简sin(

π

2

+x)，再用二倍角公式化简

3

2

sinxcosx-cos2x，得到

3

2

sin2x-

1

2

cos2x，化为sin(2x-

π

6

)-1求出周期．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求出2x-

π

6

的范围，然后求函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：f(x)=

3

sinxcosx-cosxsin(

π

2

+x)-

1

2

=

3

2

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin(2x-

π

6

)-1．（6分）
（Ⅰ）T=

2π

2

=π，故f（x）的最小正周期为π．（7分）
（Ⅱ）因为0≤x≤

π

2

，
所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．（9分）
所以当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）有最大值0，（11分）
当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，f（x）有最小值-

3

2

．（13分）

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题．