Question

已知圆T：（x-4）²+（y-3）²=25过圆内一定点P（2，1）作两条相互垂直的弦AC与BD，那么四边形ABCD面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由题意画出图形，过圆T的圆心分别作AC与BD的垂线，利用勾股定理把AC、BD的长度分别用T到AC和BD的距离表示，求出AC²+BD²为定值，运用基本不等式求出AC•BD的最大值，代入四边形ABCD面积后得四边形ABCD面积的最大值．

解答： 解：如图：
过圆T的圆心T作TF⊥AC，TH⊥BD．
不妨设TF=d₁，TH=d₂，
则(

AC

2

)2=R2-d12⇒AC2=4(25-d12)=100-4d12．
(

BD

2

)2=R2-d22⇒BD2=4(25-d22)=100-4d22．
由勾股定理可知，d12+d22=TP2=(4-2)2+(3-1)2=8．
∴AC²+BD²=200-4（d12+d22）=200-32=168为定值．
∴AC•BD≤

AC2+BD2

2

=84．
∴S四边形ABCD=

1

2

AC•BD≤

1

2

×84=42．
故答案为：42．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，训练了利用基本不等式求最值，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．