Question

如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠成如图2所示的直二面角A-DC-B．

（1）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知中E、F分别为AC、BC中点，由三角形中位线定理可得EF∥AB，由线面平行的判定定理可得AB∥平面DEF
（2）以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体A-DBC的外接球即为长方体的外接球，进而求出球的体积，和四棱锥D-ABFE的体积，可得答案．

解答： 解：（1）如图所示，∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴AB∥EF．
∵AB?面DEF，EF?面DEF，
∴AB∥面DEF．
（2）以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体A-DBC的外接球即为长方体的外接球．
设球的半径为R，则a²+a²+3a²=（2R）²，
∴R=

5

2

a．
于是球的体积V₁=

4

3

πR3=

5 5

6

πa3．
又V_A-BCD=

1

3

•S_△BCD•AD=

3

6

a3，V_E-DFC=

1

3

•S_△DFC•

1

2

AD=

3

24

a3，
四棱锥D-ABFE的体积V₂=V_A-BCD-V_E-DFC=

3

8

a3．
∴四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比为

20 15

9

π

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，点到平面的距离，其中（1）的关键是证得EF∥AB，（2）的关键是计算出四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积