Question

已知平面上两个点集M={（x，y）||x+y+1|≥

2(x2+y2)

，x，y∈R}，N={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1，x，y∈R}．若M∩N≠∅，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,交集及其运算,绝对值不等式的解法

专题：计算题,数形结合

分析：判断集合M的点集，以及集合N的点集，利用函数与方程的特征，求出方程的解，然后判断a的范围即可．

解答： 解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x+y+1=0 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 （a，1）为中心的正方形及其内部的点集（如图）．
考察M∩N=∅时，a的取值范围：
令 y=1，代入方程|x+y+1|≥

2(x2+y2)

，
得 x²-4x-2=0，解出得 x=2±

6

． 所以，
当 a＜2-

6

-1=1-

6

 时，M∩N=∅．     …①
令 y=2，代入方程|x+y+1|≥

2(x2+y2)

，
得x²-6x-1=0，解出得 x=3±

10

．
所以，当 a＞3+

10

 时，M∩N=∅．     …②
因此，综合 ①与 ②可知，当 1-

6

≤a≤3+

10

，即 a∈[1-

6

，3+

10

]时，
M∩N≠∅．
故答案为：[1-

6

，3+

10

]．

点评：本题考查集合的交集的求法，函数的零点以及函数与方程的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用．