Question

14．在递增等差数列{a_n}中，a₄=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）从数列{a_n}中依次取出${a_1}，{a_2}，{a_4}，{a_8}，…，{a_{{2^{n-1}}}}，…$，构成一个新的数列{b_n}，令c_n=n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递增等差数列通项公式和等比数列性质，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）求出b_n=${a}_{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{2}$=2^n-2=$\frac{{2}^{n}}{4}$，从而c_n=n•b_n=$\frac{n}{4}•{2}^{n}$，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵在递增等差数列{a_n}中，a₄=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=2}\\{{2}^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）}\\{d＞0}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=\frac{1}{2}，d=\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$．
（2）∵从数列{a_n}中依次取出${a_1}，{a_2}，{a_4}，{a_8}，…，{a_{{2^{n-1}}}}，…$，构成一个新的数列{b_n}，
∴b_n=${a}_{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{2}$=2^n-2=$\frac{{2}^{n}}{4}$，
∴c_n=n•b_n=$\frac{n}{4}•{2}^{n}$，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{4}×2+\frac{2}{4}×{2}^{2}+\frac{3}{4}×{2}^{3}+…+\frac{n}{4}×{2}^{n}$，①
2T_n=$\frac{1}{4}×{2}^{2}+\frac{2}{4}×{2}^{3}+\frac{3}{4}×{2}^{4}+…+\frac{n}{4}×{2}^{n+1}$，②
①-②，得：-T_n=$\frac{1}{4}$（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-$\frac{n}{4}×{2}^{n+1}$
=$\frac{1}{4}×\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-\frac{n}{4}×{2}^{n+1}$
=$\frac{{2}^{n}-n×{2}^{n}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴T_n=$\frac{n-1}{2}×{2}^{n}$+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的求和的运用，属于中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．