Question

4．如图所示的几何体是由棱长为2cm的正方体ABCD一A₁B₁C₁D₁被平面AB₁D₁所截得的较大部分．
（1）求异面直线AB₁与BC所成角的大小；        
（2）求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AB₁与BC所成角．
（2）该几何体的体积V=${V}_{A-BD{D}_{1}{B}_{1}}$+${V}_{BDC-{B}_{1}{D}_{1}{C}_{1}}$．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B₁（2，2，2），B（2，2，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），
设异面直线AB₁与BC所成角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{BC}|}$=0，∴θ=90°，
∴异面直线AB₁与BC所成角为90°．
（2）该几何体的体积：
V=${V}_{A-BD{D}_{1}{B}_{1}}$+${V}_{BDC-{B}_{1}{D}_{1}{C}_{1}}$
=$\frac{1}{3}×{S}_{四边形BD{D}_{1}{B}_{1}}$×$\frac{AC}{2}$+S_△ABC•BB₁
=$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}×2×2×2$
=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．