Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=1，O₁：（x-4）²+y²=4，动点P在直线x+$\sqrt{3}$y-b=0上，过P分别作圆O，O₁的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是-$\frac{20}{3}$＜b＜4．

Answer 1

分析 求出P的轨迹方程，动点P在直线x+$\sqrt{3}$y-b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，转化为直线与圆x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0相交，即可求出实数b的取值范围．

解答 解：由题意O（0，0），O₁（4，0）．设P（x，y），则
∵PB=2PA，
∴（x-4）²+y²=4（x²+y²），
∴x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0，
圆心坐标为（-$\frac{4}{3}$，0），半径为$\frac{8}{3}$，
∵动点P在直线x+$\sqrt{3}$y-b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，
∴直线与圆x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0相交，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-\frac{4}{3}-b|}{\sqrt{1+3}}$＜$\frac{8}{3}$，
∴-$\frac{4}{3}$-$\frac{16}{3}$＜b＜-$\frac{4}{3}$+$\frac{16}{3}$
故答案为：-$\frac{20}{3}$＜b＜4．

点评 本题考查实数b的取值范围，考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．