Question

4．已知tan（α+$\frac{π}{4}$）=2求：
（1）tanα和tan2α的值；
（2）cos2α+3sin²α的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正切公式进行求解即可．
（2）利用1的代换，结合弦化切进行求解即可．

解答 解：（1）∵tan（α+$\frac{π}{4}$）=2，
∴tanα=tan（α+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan（α+\frac{π}{4}）-tan\frac{π}{4}}{1+tan（α-\frac{π}{4}）tan\frac{π}{4}}$=$\frac{2-1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
tan2α=$\frac{2tnaα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{1}{3}}{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}$=$\frac{3}{4}$．
（2）cos2α+3sin²α=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α+3si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{1+2ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{1+2×\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{11}{10}$．

点评 本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用两角和差的正切公式以及弦切互化是解决本题的关键．