Question

14．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-5≥0}\\{y≤3}\end{array}\right.$，若不等式$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$≥a恒成立，则实数a的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{25}{13}$
• D． 2

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，求出$\frac{y}{x}$的范围，由$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$=$1+\frac{2\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=$1+\frac{2}{\frac{y}{x}+\frac{1}{\frac{y}{x}}}$，求出其范围，可得使不等式$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$≥a恒成立的实数a的最大值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-5≥0}\\{y≤3}\end{array}\right.$作出可行域如图，

∵$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}=1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$1+\frac{2\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=$1+\frac{2}{\frac{y}{x}+\frac{1}{\frac{y}{x}}}$，
设z=$\frac{y}{x}$，
由图可知，1$＜z＜\frac{3}{2}$，
∴z$+\frac{1}{z}$∈（2，$\frac{13}{6}$），则$\frac{2}{z+\frac{1}{z}}∈（\frac{12}{13}，1）$，
∴$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$∈（$\frac{25}{13}，2$）．
∵不等式$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$≥a恒成立，
∴$a≤\frac{25}{13}$．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求法，是中档题．