Question

19．在△ABC中，∠A=120°，AB=5，AC=3，O为△ABC的外心，若$\overrightarrow{OG}$=λ$\overrightarrow{OB}$+μ$\overrightarrow{OC}$，λ∈[0，$\frac{1}{2}$]，μ∈[0，$\frac{1}{2}$]，则点G的轨迹对应图形面积为$\frac{49\sqrt{3}}{24}$．

Answer 1

分析 可作出图形：分别取OB，OC的中点D，E，根据向量加法的平行四边形法则便知，点G的轨迹为以OD，OE为邻边的平行四边形，根据条件，由余弦定理可以求出BC=7，而根据正弦定理可以求出外接圆半径，从而可以得出OD，OE的值，这样根据三角形的面积公式即可求出点G的轨迹对应图形的面积为：2S_△DOE．

解答 解：如图，取OB的中点D，OC的中点E，根据向量加法的平行四边形法则知，点G的轨迹为以OD，OE为邻边的平行四边形；
在△ABC中，∠A=120°，AB=5，AC=3；
∴由余弦定理得，BC²=5²+3²-2•5•3•cos120°=49；
∴BC=7；
由正弦定理，$\frac{BC}{sinA}=2r$；
即$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2r$；
∴$r=\frac{7}{\sqrt{3}}$；
∴$OD=OE=\frac{7}{2\sqrt{3}}$，且∠DOE=120°；
∴点G的轨迹对应图形面积为2S_△DOE=OD•OE•sin∠DOE=$\frac{7}{2\sqrt{3}}•\frac{7}{2\sqrt{3}}•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{49\sqrt{3}}{24}$．
故答案为：$\frac{49\sqrt{3}}{24}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，余弦定理和正弦定理，以及三角形的面积公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．