Question

8．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB₁⊥BC₁，则下列关于直线A₁C和AB₁，BC₁的关系的判断正确的为（　　）

• A． A₁C和AB₁，BC₁都垂直
• B． A₁C和AB₁垂直，和BC₁不垂直
• C． A₁C和AB₁，BC₁都不垂直
• D． A₁C和AB₁不垂直，和BC₁垂直

Answer 1

分析 设D为BC的中点，连结AD、B₁D，设E为AB的中点，连结CE、A₁E，由射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理能推导出A₁C和AB₁，BC₁都垂直．

解答 解：设D为BC的中点，连结AD、B₁D，设E为AB的中点，连结CE、A₁E，
∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC，
由正三棱柱的性质可知，平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
又平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∴B₁D是AB₁在平面BB₁C₁C上的射影，
同理，A₁E是A₁C在平面AA₁B₁B上的射影，
∵AB₁⊥BC₁，由三垂线逆定理可知，B₁D⊥BC₁，
∵长方形AA₁B₁B≌长方形BB₁C₁，∴A₁E⊥AB₁，由三垂线定理可知，AB₁⊥A₁C；
取AC中点F，连结BF、C₁F，
∵△ABC是等边三角形，∴BF⊥AC，∵AA₁⊥平面ABC，∴BF⊥AA₁，
∵AA₁∩AC=A，∴BF⊥平面ACC₁A₁，∵A₁C?平面ACC₁A₁，∴BF⊥A₁C，
∵长方形AA₁B₁B≌长方形BB₁C₁≌长方形AA₁C₁C，∴A₁C⊥C₁F，由三垂线定理可知，BC₁⊥A₁C．
∴A₁C和AB₁，BC₁都垂直．
故选：A．

点评 本题考查线线关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理的合理运用．