Question

11．在△ABC中，AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$+1，∠BAC=45°，点P满足：$\overrightarrow{BP}$=（1-λ）$\overrightarrow{BA}$+λ$\overrightarrow{BC}$（λ＞0），AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AC}$的值；
（2）求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积的运算即可求出；
（2）根据向量的加减的几何意义得到即$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AC}$，即可求出答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{AC}$|cos135°=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1）×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{3}$+1，
（2）∵$\overrightarrow{BP}$=（1-λ）$\overrightarrow{BA}$+λ$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BA}$=λ（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$），即$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AC}$，
∵λ＞0，
∴λ=$\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的加减的几何意义，属于基础题．