Question

2．已知p：2a≤x≤a²+1，q：x²-3（a+1）x+6a+2≤0，若p是q的充分条件，求实数a取值范围．

Answer 1

分析 设A={x|2a≤x≤a²+1}，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}，由于p是q的充分条件，可得A⊆B．
（1）当a≥$\frac{1}{3}$时，此时B={x|2≤x≤3a+1}，可得$\left\{\begin{array}{l}{2a≥2}\\{{a}^{2}+1≤3a+1}\end{array}\right.$．
（2）当a＜$\frac{1}{3}$时，B={x|3a+1≤x≤2}，可得$\left\{\begin{array}{l}{2a≥3a+1}\\{{a}^{2}+1≤2}\end{array}\right.$．

解答 解：x²-3（a+1）x+6a+2≤0，化为（x-2）[x-（3a+1）]≤0，
设A={x|2a≤x≤a²+1}，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}，∵p是q的充分条件，∴A⊆B．
（1）当a≥$\frac{1}{3}$时，B={x|2≤x≤3a+1}，∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≥2}\\{{a}^{2}+1≤3a+1}\end{array}\right.$，解得1≤a≤3．
（2）当a＜$\frac{1}{3}$时，B={x|3a+1≤x≤2}，∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≥3a+1}\\{{a}^{2}+1≤2}\end{array}\right.$，解得a=-1．
∴实数a取值范围是{a|1≤a≤3，或a=-1}．

点评 本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．