Question

19．设数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，则通项公式a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式利用累积法即可求得数列的通项公式．

解答 解：由a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，得
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}（n≥2）$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{5}{3}$，…，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n}{n-2}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$（n≥2），
则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2），
又a₁=1，
∴${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
n=1时上式成立，
∴${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
故答案为：$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．