Question

7．求（1+x+x²）⁸展开式中x⁵的系数．

Answer 1

分析 先求得[（x²+x）+1）]⁸的展开式的通项公式，再求出（x²+x）^8-r 的展开式的通项公式，可得x⁵的系数．

解答 解：（x²+x+1）⁸=[（x²+x）+1）]⁸的展开式的通项公式为T_r+1=C₈^r•（x²+x）^8-r，r=0，1，2，3，4，5，
而（x²+x）^8-r 的展开式的通项公式为T_r′+1=${C}_{8-r}^{r′}$•（x²）^8-r-r′•x^r′=${C}_{8-r}^{r′}$•x^16-2r-r′，
0≤r′≤8-r，故有r=3，r′=5，或r=4，r′=3，或r=5，r′=1．
故x⁵的系数为C₈³C₅⁵+C₈⁴C₄³+C₈⁵C₃¹=56+280+168=504．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．