Question

5．已知过点A（0，-1）且斜率为k的直线l与圆C：（x-2）²+（y-3）²=4交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=9，其中O为坐标原点，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．
（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx-1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．

解答 解：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，-1）的直线方程：y=kx-1，即：kx-y-1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=2．
故由$\frac{|2k-1-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，解得：k＞$\frac{3}{4}$；
（2）设M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx-1，代入圆C的方程（x-2）²+（y-3）²=4，
可得（1+k²）x²-4（2k+1）x+16=0
∴x₁+x₂=$\frac{4+8k}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{16}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{16}{1+{k}^{2}}$•k²+k•$\frac{4+8k}{1+{k}^{2}}$+1=$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{1+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁•y₂=17-$\frac{k（4+8k）}{1+{k}^{2}}$=9，解得k=2，
故直线l的方程为y=2x-1，即2x-y-1=0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
所以|MN|=4．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．