Question

20．数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1，（n≥2，n∈N^*），若a_k=100，则k=200．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}{a}_{n}$，作差后即可得到$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$（n≥2），再由已知求出a₂，则数列在n≥2时的通项公式可求，由a_k=100求得k值．

解答 解：由a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1，（n≥2，n∈N^*），得
a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}{a}_{n}$，
两式作差得：${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{1}{n}{a}_{n}$（n≥2），
∴${a}_{n+1}=\frac{n+1}{n}{a}_{n}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$（n≥2），
由a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1，得a₂=a₁=1，
∴当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{1}{2}$，${a}_{n}=\frac{n}{2}$，
由a_k=100=$\frac{k}{2}$，得k=200．
故答案为：200．

点评 本题考查数列递推式，考查了作差法求数列的通项公式，是中档题．