Question

（2009•红桥区二模）在△ABC中a，b，c分别是角A，B，C的对边，bcosC，acosA，ccosB成等差数列，a=

3

，b+c=3，求：
（Ⅰ）角A；
（Ⅱ）△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理可得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，由三角函数的公式化简可得cosA=

1

2

，结合三角形内角的范围可得；
（Ⅱ）由余弦定理可得(

3

)2=b²+c²-2bccosA，代入数据可得bc=2，而S=

1

2

bcsinA=，计算可得．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得2acosA=bcosC+ccosB，
∴由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，
即sin2A=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosA-sinA=0，
∴sinA（2cosA-1）=0，而sinA≠0，
∴cosA=

1

2

，又A∈（0，π）
∴A=

π

3

（Ⅱ）由余弦定理可得(

3

)2=b²+c²-2bccosA，
即3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3bc，
解之可得bc=2，
故△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

点评：本题考查等差数列的性质以及正余弦定理的应用，涉及三角函数式的化简，属中档题．