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如图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
y2=8x(1≤x≤4,y>0)
以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.
设曲线段C的方程为y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB,y>0),其中xA、xB为A、B的横坐标,p=|MN|,∴M、N.由|AM|=,|AN|=3,得+2pxA=17,①
+2pxA=9.②
联立①②,解得xA,代入①式,并由p>0,解得∵△AMN为锐角三角形,∴>xA.∴由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-=4.
综上,曲线C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0).
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