Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）满足条件的存在，是中点.

【解析】

试题分析：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，取中点，连接，通过中位线定理可得，利用线面平行的判定定理即得结论；第二问，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面的法向量与平面的法向量的夹角的余弦值即为，计算即可．

试题解析：证明：（Ⅰ）取中点，连接，在中，为的中点， ，正方形中为中点，，，故四边形为平行四边形，，

又平面，平面， 平面；

（Ⅱ）结论：满足条件的存在，是中点．理由如下：如图：以点为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，由题易知平面的法向量为，假设存在满足条件：设，，，，，设平面的法向量为，

由，可得，

，

由已知：，解得：，

所以满足条件的存在，是中点．