试题分析:(Ⅰ)先由已知条件写出
,
的表达式,观察式子的结构特征,用不完全归纳法归纳出
表达式(可以用数学归纳法给出证明);(Ⅱ)由(Ⅰ)知
的表达式,要求极值点,就要借助
的导函数
,令
,解出可能的极值点,验证是极值后代入解析式,即可求出
的最小值
;(Ⅲ)类比求函数
的最小值的过程,即可求出函数
的极大值
,进而求出函数
的最大值,从而得
的关系式,将它看作数列,研究该数列相邻两项的关系,即可求得
的最小值;得
的关系式
后,也可以构造函数
,利用导数求它的最小值,即得
的最小值.
试题解析:(Ⅰ)
4分
(Ⅱ)∵
,∴当
时,
;当
时,
,∴当
时,
取得极小值
,即
(
) 8分
(Ⅲ)解法一:∵
,所以
. 9分
又
,∴
,令
,则
. 10分
∵
在
单调递增,∴
,∵
,
,
∴存在
使得
. 12分
∵
在
单调递增,∴当
时,
;当
时,
,即
在
单调递增,在
单调递减,∴
,又∵
,
,
,
∴当
时,
取得最小值
. 14分
解法二: ∵
,所以
. 9分
又
,∴
,令
,则
, 10分
当
时,
,又因为
,所以
,
,
,
∴
,所以
. 12分
又
,
,∴当
时,
取得最小值
. 14分