Question

4．已知F为抛物线y²=4x的焦点，点A，B在抛物线上且位于x轴的两侧，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12（O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题

解答 解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x=ty+m代入y²=4x，可得y²-4ty-4m=0，根据韦达定理有y₁•y₂=-4m，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12，∴x₁•x₂+y₁•y₂=12，从而（y₁•y₂）²+16y₁•y₂-12×16=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-24，故m=6．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，又F（1，0），
∴S_△BFO+S_△AFO=$\frac{1}{2}×1×（{y}_{1}-{y}_{2}）$=$\frac{1}{2}（{y}_{1}+\frac{24}{{y}_{1}}）$$≥2\sqrt{6}$．
当且仅当y₁=$\frac{24}{{y}_{1}}$，即y₁=2$\sqrt{6}$时，取“=”号，
∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是2$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$

点评 本题考查了抛物线与直线的位置关系，平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于中档题．