Question

16．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE
（Ⅰ）求证：AE⊥BE
（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BC⊥平面ABE，从而AE⊥BC，由BF⊥平面ACE，得AE⊥BF，从而AE⊥平面BCE，由此能证明AE⊥BE．
（Ⅱ）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，由比例关系得CN=$\frac{1}{3}$CE，推导出平面MGN∥平面ADE，由此能求出N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∵AE?平面ABE，∴AE⊥BC，
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，
又BE?平面BCE，∴AE⊥BE．（6分）
解：（Ⅱ）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，
在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，
则由比例关系得CN=$\frac{1}{3}$CE，
∵MG∥AE  MG?平面ADE，AE?平面ADE，∴MG∥平面ADE，
同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE，
又MN?平面MGN，∴MN∥平面ADE，
∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．