Question

1．当x＞1＞y时，有x²-2xy+y²≥m[xy-（x+y）+1]恒成立，则实数m的取值范围为[-4，+∞）．

Answer 1

分析 把已知本等式变形，可得x²-2xy+y²≥m（x-1）（y-1）=-m（x-1）（1-y），分离参数-m，配方后利用基本不等式求得最值得答案．

解答 解：由x²-2xy+y²≥m[xy-（x+y）+1]，得x²-2xy+y²≥m（x-1）（y-1）=-m（x-1）（1-y），
∵x＞1＞y，∴（x-1）（1-y）＞0，得
-m≤$\frac{（x-y）^{2}}{（x-1）（1-y）}=\frac{（x-1+1-y）^{2}}{（x-1）（1-y）}$=$\frac{（x-1）^{2}+2（x-1）（1-y）+（1-y）^{2}}{（x-1）（1-y）}$
=$\frac{x-1}{1-y}+\frac{1-y}{x-1}+2$．
∵$\frac{x-1}{1-y}+\frac{1-y}{x-1}+2≥2\sqrt{\frac{x-1}{1-y}•\frac{1-y}{x-1}}+2=4$，
当且仅当x-1=1-y，即x+y=2时，上式等号成立．
∴-m≤4，则m≥-4．
∴实数m的取值范围为[-4，+∞）．
故答案为：[-4，+∞）．

点评 本题考查恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．