Question

20．设a＞0，b＞0，若3^a与3^b的等比中项是$\sqrt{3}$，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9．

Answer 1

分析 由条件可得 3^a•3^b =3，故a+b=1，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，$\sqrt{3}$是3^a与3^b的等比中项，
∴3^a•3^b =3，故a+b=1．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{4a+4b}{b}$
=1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$
≥5+2 $\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$时，等号成立，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为 9，
故答案为：9．

点评 本题主要考查等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．