Question

15．如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于点C、D的点，AE=3，圆O的直径为9．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求DE的长．

Answer 1

分析 （1）只需证明AE⊥CD．CD⊥AD，即可得CD⊥平面ADE．平面ABCD⊥平面ADE．
（2）可知CE为圆O的直径，即CE=9，设正方形ABCD的边长为a，在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，解得a=3$\sqrt{5}$．DE=6．

解答 解：（1）∵AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面内，∴AE⊥CD．
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．
（2）∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，∴CD⊥DE．
∴CE为圆O的直径，即CE=9．
设正方形ABCD的边长为a，
在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，
由81-a²=a²-9，解得a=3$\sqrt{5}$．
∴DE=6．

点评 本题考查了空间面面位置关系的判定，考查了转化思想，计算能力，属于中档题．