Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n，且满足S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$，则S_n=$\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，$\frac{1}{{S}_{1}}$=2．利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，$\frac{1}{{S}_{1}}$=2．
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列，公差为2，首项为2．
则$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，解得S_n=$\frac{1}{2n}$．
故答案为：$\frac{1}{2n}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．