Question

6．已知点P是△ABC内一点（不包括边界），且$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，m，n∈R，则（m-2）²+（n-2）²的取值范围是$（\frac{9}{2}，8）$．

Answer 1

分析 由题意可知m＞0，n＞0，m+n＜1，画出可行域（m-2）²+（n-2）²表示点C（2，2）到可行域内点（m，n）距离平方，利用点到直线的距离公式，即可求得（m-2）²+（n-2）²的取值范围．

解答 解：由题意得：m＞0，n＞0，m+n＜1，可行域为一个直角三角形OAB内部，其中A（1，0），B（0，1），
而（m-2）²+（n-2）²表示点C（2，2）到可行域内点（m，n）距离平方，
则C（2，2）到直线m+n=1距离为d$\frac{丨2+2-1丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
因此取值范围是（d，丨OC丨²），
∴（m-2）²+（n-2）²的取值范围$（\frac{9}{2}，8）$，
故答案为：$（\frac{9}{2}，8）$．

点评 本题考查向量的共面的性质，考查性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．