Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，设，若存在，，使，求实数的取值范围.（为自然对数的底数，）

Answer 1

【答案】（I）当时，的减区间为，增区间，当时，的减区间为；当时，的减区间为，，增区间为；（II）.

【解析】

试题分析：（I）先求出函数的定义域和，然后解关于的不等式，即可分类讨论得到函数的单调区间；（II）由（I）可得时函数在上单调递减，把存在，，使，转化为上的最大值大于的最小值，进而转化为在的上的最大值、最小值.

试题解析：（Ⅰ），.…………………1分

令

①时，，的减区间为，增区间为.…………2分

②当时，

所以当时，，，在区间上单调递减.……………………4分

当时，，，

,

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，………………7分

所以当时，的减区间为，增区间.

当时，的减区间为.

当时，的减区间为，

增区间为.…………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值为，………………10分

，令，得.

时，，单调递减，

，，单调递增，………………12分

所以在上的最小值为，……………13分

由题意可知，解得…………14分

所以