Question

如图①，E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B＝90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C中点．求证：

(1)直线FM∥平面A1EB；

(2)平面A1FC⊥平面A1BC.

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

【解析】证明：(1)取A1B中点N，连结NE、NM，

则MN∥=BC，EF∥=BC，所以MN∥=FE，

所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，

因为FM平面A1EB，EN平面A1EB，

所以直线FM∥平面A1EB.

(2)因为E、F分别为AB和AC的中点，

所以A1F＝FC，所以FM⊥A1C.

同理，EN⊥A1B.

由(1)知，FM∥EN，所以FM⊥A1B.

因为A1C∩A1B＝A1，所以FM⊥平面A1BC.

因为FM平面A1FC，

所以平面A1FC⊥平面A1BC.