Question

15．用比较法证明：$\frac{1}{3}$≤$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$≤3．

Answer 1

分析 作差3（x²-x+1）-（x²+x+1）=2（x-1）²≥0，又x²+x+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}＞$0，即可证明$\frac{1}{3}$≤$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$，同理可证$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$≤3．

解答 证明：∵3（x²-x+1）-（x²+x+1）=2x²-4x+2=2（x-1）²≥0，∴3（x²-x+1）≥x²+x+1，又x²+x+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}＞$0，
∴$\frac{1}{3}$≤$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$，
由3（x²+x+1）-（x²-x+1）=2x²+4x+2=2（x+1）²≥0，∴3（x²+x+1）≥x²-x+1，又x²-x+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}＞$0，
∴$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$≤3．
综上可得：$\frac{1}{3}$≤$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$≤3．

点评 本题考查了作差比较法证明不等式、不等式的性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．