Question

20．已数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=（1+2|cos$\frac{nπ}{2}$|）a_n+|sin$\frac{nπ}{2}$|，n∈N^*．
（1）证明：数列：{a_2k}{k∈N^*}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）b_n=$\frac{1}{{a}_{2n}}$+（-1）^n-1•（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{a}_{2n-1}}$，求{b_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）求得a₃，a₄，当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+2|coskπ|）a_2k+|sinkπ|=3a_2k，由等比数列的定义，即可得证；
（2）由题意可得数列{a_n}的奇数项是首项为1，公差为1的等差数列；偶数项是首项为3，公比为3的等比数列．运用等差数列和等比数列的通项公式，即可得到所求；
（3）求得b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+（-1）^n-1•（$\frac{1}{4}$）ⁿ=（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（-$\frac{1}{4}$）ⁿ．运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：由题意可得a₃=（1+2×0）a₁+1=2；
a₄=（1+2×1）a₂=3×3=9；…
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+2|coskπ|）a_2k+|sinkπ|=3a_2k，
则数列{a_2k}{k∈N^*）是首项为3，公比为3的等比数列；
（2）当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=（1+2|cos（kπ-$\frac{π}{2}$）|）a_2k-1+|sin（kπ-$\frac{π}{2}$）|=a_2k-1+1，
即有数列{a_n}的奇数项是首项为1，公差为1的等差数列；
由（1）可得数列{a_n}的偶数项是首项为3，公比为3的等比数列．
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{2}，n为奇数}\\{{3}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$；
（3）b_n=$\frac{1}{{a}_{2n}}$+（-1）^n-1•（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{a}_{2n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$+（-1）^n-1•（$\frac{1}{4}$）ⁿ
=（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（-$\frac{1}{4}$）ⁿ．
即有前n项和为S_n=（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-[（-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{（-4）^{n}}$]
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{（-\frac{1}{4}）[1-\frac{1}{（-4）^{n}}]}{1-（-\frac{1}{4}）}$=$\frac{7}{10}$-$\frac{1}{2•{3}^{n}}$-$\frac{1}{5•（-4）^{n}}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查分类讨论的思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题．