Question

2．已知点A（-1，0），B（2，0），动点P满足|$\overrightarrow{PA}$|≥2|$\overrightarrow{PB}$|，直线PA交y轴于点C，则sin∠ACB的最大值为$\frac{3\sqrt{39}}{26}$．

Answer 1

分析 设P（x，y），则满足（x-3）²+y²≤4，∴动点P在圆M：（x-3）²+y²=4上及内部，当AP与圆M相切时，sin∠ACB最大，由此能求出sin∠ACB的最大值．

解答 解：设P（x，y），∵点A（-1，0），B（2，0），动点P满足|$\overrightarrow{PA}$|≥2|$\overrightarrow{PB}$|，
|$\overrightarrow{PA}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}≥2\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
∴满足（x-3）²+y²≤4，
∴动点P在圆M：（x-3）²+y²=4上及内部，
当AP与圆M相切时，sin∠ACB最大，
此时AP：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），点C（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），∠ACO=60°，tan$∠OCB=2\sqrt{3}$，
tan$∠ACB=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}•2\sqrt{3}}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴sin∠ACB=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{39}}{26}$．

点评 本题考查角的正弦值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．