Question

10．已知圆C：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，点D（$\sqrt{3}$，0），Q是圆上一动点，DQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）过点P（1，0）的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB（O是坐标原点）的面积S∈（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），若弦AB的中点为R．求直线OR斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意|MC|+|MD|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2$\sqrt{3}$，从而轨迹E是以D（$\sqrt{3}$，0），C（-$\sqrt{3}$，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的方程．
（2）设直线AB：x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得：（4+m²）y²+2my-3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线OR斜率的取值范围．

解答 解：（1）由题意|MC|+|MD|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2$\sqrt{3}$，
∴轨迹E是以D（$\sqrt{3}$，0），C（-$\sqrt{3}$，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x₀，y₀），
由题意，直线AB的斜率不可能为0，设直线AB：x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，消去x，得：（4+m²）y²+2my-3=0，
△=4m²+12（4+m²）=16m²+48＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
S=$\frac{1}{2}$|OP|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$，
由S∈（$\frac{3}{5}，\frac{4}{5}$），解得1＜m²＜6，即m∈（-$\sqrt{6}$，-1）∪（1，$\sqrt{6}$），
∵R（x₀，y₀）是AB的中点，
∴${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{m}{4+{m}^{2}}$，${x}_{0}=m{y}_{0}+1=\frac{4}{4+{m}^{2}}$，
∴直线OR的斜率k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=-\frac{m}{4}$∈（-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}$）．
∴直线OR斜率的取值范围是（-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}$）．

点评 本题考查点对点的转变的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．