设抛物线C1:y2=4x的准线与x轴交于点F1.焦点为F2.椭圆C2以F1.F2为焦点且椭圆C2上的点到F1的距离的最大值为3．(1)求椭圆的标准方程,(2)直线l经过椭圆C2的右焦点F2.与抛物线C1交于A1.A2两点.与椭圆C2交于B1.B2两点.当以B1B2为直径的圆经过F1时.求|A1A2|的长,(3)若M是椭圆上的动点.以M为圆心.MF2为半径作⊙M是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

设抛物线C₁：y²=4x的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂，椭圆C₂以F₁，F₂为焦点且椭圆C₂上的点到F₁的距离的最大值为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁、A₂两点，与椭圆C₂交于B₁、B₂两点，当以B₁B₂为直径的圆经过F₁时，求|A₁A₂|的长；
（3）若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作⊙M是否存在定圆⊙N，使得⊙M与⊙N恒相切，若存在，求出⊙N的方程；若不存在，请说明理由．

分析（1）由题意可知C=1，a+c=3，即可求得a、b和c的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）分类当斜率不存在时，判断不成立，当斜率存在，设出直线方程，将直线方程代入椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，由韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A₁A₂|．
（3）定圆N的方程为：（x+1）²+y²=16，求得圆心，由抛物线的性质，可求得|MF₁|=4-|MF₂|，两圆相内切．

解答解：（1）∵抛物线C₁：y²=4x的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂，
∴椭圆C₂的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），
设椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+c=3}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，…（3分）
（2）当直线l与x轴垂直时，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），
又F₁（-1，0），此时$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$≠0，
∴以B₁B₂为直径的圆不经过F₁，不满足条件，
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，即（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∵焦点在椭圆内部，∴恒有两个交点，
设B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵以B₁B₂为直径的圆经过F₁，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$=0，又F₁（-1，0），
∴（-1-x₁）•（-1-x₂）+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x²）+1+k²=0，
∴（1+k²）•$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（1-k²）•（-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）+1+k²=0，
解得k²=$\frac{9}{7}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵直线l与抛物线有两个交点，
∴k≠0，设A₁（x₃，y₃），A₂（x₄，y₄），则x₃+x₄=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₃x₄=1，
∴|A₁A₂|=x₃+x₄+p=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=$\frac{64}{9}$，…（8分）
（3）存在定圆N，使得⊙M与⊙N恒相切，
定圆N的方程为：（x+1）²+y²=16，圆心是左焦点F（-1，0），
由椭圆定义知|MF₁|+|MF₂|=2a=4，
∴|MF₁|=4-|MF₂|，
∴两圆相内切． …（12分）

点评本题考查椭圆的标准方程的求法，考查弦长的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式的合理运用，属于难题．

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